البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي - رياضيات2-2 - ثاني ثانوي

6-6 البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي www.ien.edu.sa Proof by Principle of Mathematical Induction فيما سبق درست إيجاد مجموع متسلسلة حسابية (الدرس (2-6) والان . أبرهن الجمل الرياضية لماذا؟ إذا صُفَّت قطع الدومينو متقاربة كما في الصورة المجاورة، فإن كل ما نحتاج إليه لإسقاط القطع جميعها هو إسقاط القطعة الأولى. وينطبق هذا تماما على مبدأ الاستقراء الرياضي. مبدأ الاستقراء الرياضي: مبدأ الاستقراء الرياضي هو أسلوب لبرهنة الجمل الرياضية المتعلقة بالأعداد الطبيعية. باستعمال مبدأ الاستقراء مفهوم أساسي مبدأ الاستقراء الرياضي الرياضي. أثبت خطأ جملة رياضية بإيجاد مثال مضاد. المفردات: مبدأ الاستقراء الرياضي mathematical induction فرضية الاستقراء أضف الى مطويتك لبرهنة أن جملة ما صحيحة للأعداد الطبيعية جميعها 1 ، اتبع الخطوات الآتية : الخطوة 1: برهن أن الجملة صحيحة عندما 1 = " . الخطوة 2 : افترض أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي . وهذا الفرض يُسمّى فرضية الاستقراء . الخطوة 3 برهن أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي التالي 1 + k . مثال 1 برهان المجموع induction hypothesis برهن أن : n²(n + 1)² 13+2333.. + n³ = 4 الخطوة 1: عندما 1 = n ، فإن الطرف الأيسر من المعادلة هو 1 = 13 والطرف الأيمن هو 1 = - الخطوة 2: افترض أن 12(1+1)² 4 +k3= k²(k + 1)² 4 ؛ إذن الجملة صحيحة عندما 1 = n . + 33 + 23 + 13 صحيحة، حيث k عدد طبيعي . الخطوة 3 : برهن أن الجملة صحيحة عندما 1 + n = k . أي برهن أن الجملة = 3(1) + k) + ... + 33 + 23 + 13 صحيحة. فرضية الاستقراء اجمع ( + ) لكلا الطرفين اجمع (k + 1)² (k + 2)² 4 13+2333+...+k³ = 13+23+k³ + (k + 1)3 = k²(k + 1)² 4 k²(k + 1)² +(k+1)³ 4 k²(k+1)²+4(k+1) 3 4 (k+1)2 [k²+4(k + 1)] 4 (k+1)² (k² + 4k+4) 4 (k + 1)² (k + 2)² = حلل بسط 4 حلل العبارة الأخيرة هي الطرف الأيمن من المعادلة المطلوب إثباتها عندما 1 + n = k ، وبهذا فإن العلاقة صحيحة عند جميع . الأعداد الطبيعية " تحقق من فهمك 1) برهن أن : n(n + 1)(2n+1) 122232.. + n²== 6 وزارة التعليم الدرس 6-6 البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي 157 2024-1446

إرشادات للدراسة قابلية القسمة يقال عن عدد ما: إنه يقبل القسمة على 4 إذا أمكن كتابة ذلك العدد في الصورة 4r، حيث ۲ عدد طبيعي، ويُستعمل هذا التعبير في برهان قابلية القسمة. وكما في برهان المجموع فإن مبدأ الاستقراء الرياضي يمكنك استعماله لبرهنة قابلية القسمة أيضًا. مثال 2 برهان قابلية القسمة برهن أن 1 - 8 يقبل القسمة على 7 لكل عدد طبيعي 1 . الخطوة 1 عندما 1 = " ، فإن 7 = 1 - 81 = 1 - 8 . وبما أن 7 يقبل القسمة على 7 ، فإن الجملة صحيحة عندما 1 = " . الخطوة 2: افترض أن 1 - 8 يقبل القسمة على 7 ، حيث k عدد طبيعي، وهذا يعني أنه يوجد عدد طبيعي r بحيث إن 77 = 1 - 8 الخطوة :3 برهن صحة الجملة عند 1 + n = k أي برهن أن 1 - 1 + 8 يقبل القسمة على 7 ؛ 8k-1=7r 8k7r+1 8(8k) = 8(7r + 1) gk + 1 = 56r + 8 8k + 1 - 1 = 56 + 7 gk+1 1 7(8r+1) فرضية الاستقراء أضف 1 لكلا الطرفين اضرب كلا الطرفين في 8 بسط اطرح 1 من كلا الطرفين حلل مراجعة المفردات مثال مضاد أحد معاني كلمة مضاد وبما أن r عدد طبيعي، فإن 1 + 8 عدد طبيعي، وهذا يعني أن (1) 78 يقبل القسمة على 7 ؛ إذن 1 - 1 + 8 يقبل القسمة على 7 . وهذا يبرهن أن 1 - 8 يقبل القسمة على 7 لكل عدد طبيعي " . تحقق من فهمك (2) برهن أن 1 - 7 يقبل القسمة على 6 لكل عدد طبيعي ". الأمثلة المضادة يمكنك إثبات خطأ جملة رياضية من خلال مبدأ الاستقراء الرياضي، وأسهل طريقة لعمل ذلك هي إيجاد مثال مضاد تكون عنده الجملة الرياضية خاطئة. هو مناقض، لذلك فإن المثال المضاد هو مثال يناقض الفرضية. مثال 3 استعمال المثال المضاد لإثبات خطأ جملة رياضية أعط مثالا مضادا يبيّن خطأ الجملة : " 22 + 2 تقبل القسمة على 4 ، حيث " أي عدد طبيعي" اختبر قيما مختلفة للعدد 1 11 158 2" + 211² 21+2(1)2 n 2+2=4 1 22+2(2)2 4+8=12 2 23+2(3)2 8+18=26 3 هل تقبل القسمة على العدد 4 ؟ نعم نعم إذن فالقيمة 3 = " تُعدُّ مثالاً مضادا للجملة. تحقق من فهمك (3) أعط مثالاً مضاداً يبيّن خطأ الجملة: " . . = n2 + ... + 32 + 22 + 12، حيث 1 أي عدد طبيعي n(3n-1) 2 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد مثال 1 برهن صحة كل من الجملتين الآتيتين للأعداد الطبيعية جميعها: 1+3+5+...+(2n-1)=n² (1 n(n + 1) 1+2+3+...+n= (2 2 3) نظرية الأعداد : يُسمّى العدد عددًا مثلثيا، إذا أمكن تمثيله بنقاط على شكل مثلث كما في الشكل أدناه. إذا علمت أن العدد المثلثي الأول هو 1، فأوجد الأعداد المثلثية الخمسة التالية. ) اكتب قاعدة لإيجاد العدد المثلثي الذي ترتيبه " . برهن أن مجموع أول " من الأعداد المثلثية يساوي: . مثال 2 برهن صحة كل من الجملتين الآتيتين للأعداد الطبيعية جميعها: 14 - 10 يقبل القسمة على 9 n(n + 1)(n+2) 6 5) 1 - "4 يقبل القسمة على 3 مثال 3 أعط مثالا مضادا يُبين خطأ كل من الجملتين الآتيتين، حيث " أي عدد طبيعي: 6 1 + 3 يقبل القسمة على 4 (7) 3 + 2 يقبل القسمة على 4 10 تدرب وحل المسائل مثال 1 برهن صحة كلّ من الجمل الآتية للأعداد الطبيعية جميعها: +... 22 +++++++-1- 8 n(3n+1) 2+5+8+ + (3n-1) = 2 (9 1+2+4+...+2"-12"-1 (10) 3+7+11+ (4n-1) = 2n² + n (11 (12) هندسة مستعملا مبدأ الاستقراء الرياضي والهندسة؛ برهن صحة قاعدة مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب (2) - )180]، حيث " عدد الأضلاع. لكل 3 = n . مثال 2 برهن صحة كل من الجملتين الآتيتين للأعداد الطبيعية جميعها: 13) 1 - 9 يقبل القسمة على 8. 14) 10 + 12 يقبل القسمة على 11. مثال 3 أعط مثالا مضادًا يُبيّن خطأ كل من الجملتين الآتيتين، حيث " أي عدد طبيعي: 1+8+27++n³ (2n + 2)² (15 16) 23 + 1 + 12 عدد أولي. وزارة التعليم الدرس - البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي 159 2024-1446

الربط بالحياة تظهر حدود متتابعة فيبوناشي كثيرا، كما في بذور قرص (17) متتابعة فيبوناشي: تبدأ متتابعة فيبوناشي بالحدود ...,1,2,3,5,8, 1، ويكون الحد التالي فيها مساويًا لمجموع الحدين السابقين له مباشرة وذلك بعد الحد الثاني) . فإذا كان f يمثل عدد فيبوناشي ذا الرقم 1، فبرهن أن: fi + f2 + ... + fn = fn+2 - 1 برهن صحة كل جملة مما يأتي لجميع الأعداد الطبيعية، أو أعط مثالا مضادًا يُثبت خطأها: 18) 5 + "7 يقبل القسمة على 6 720 + 211 + 2 عدد أولي . 19) 1 - 18 يقبل القسمة على 17 21) 3 + 3 + 2 عدد أولي. 500+100+20+...+4.54-"= 625 625 (1-5) (22 تباع الشمس ، إذ يمكن رسم 13 أو 21 أو 55 شكلا حلزونيا مسائل مهارات التفكير العليا اعتمادًا على درجة ميل الشكل وجميعها من عناصر متتابعة فيبوناشي. (23) تحد اكتب قاعدة تُمثل المجموع 2...++++++++++2، ثم برهنها باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي. تبرير: حدد ما إذا كانت كل من الجملتين الآتيتين صحيحة أم خطاً. وضح إجابتك. (24) إذا لم تستطع إيجاد مثال مضاد في جملة رياضية فإنها تكون صحيحة. (25) إذا كانت جملة ما صحيحة عند n = k ، وعند 1 + ، فإنها تكون صحيحة عند 1 = n (26) تحد: برهن أن : (11) 2 + 52 يقبل القسمة على 3 لكل عدد طبيعي 1 . (27) مسألة مفتوحة : اكتب قاعدة لإيجاد مجموع متسلسلة ما، ثم برهن على صحتها باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي. (28) اكتب وضح مبدأ الاستقراء الرياضي بمثال من واقع الحياة (غير قطع الدومينو). تدريب على اختبار (29) أيُّ الأعداد الآتية يُعدّ مثالاً مضادا لإثبات خطأ الجملة: 11 - 1 + 12 عدد أولي؟ n = -6 A n = 4 B n = 5 C n = 6 D (30) مبدأ العد يريد حسن وضع كلمة سر للحاسوب الخاص به مكونة من 7 رموز ، بحيث تكون الرموز الثلاثة الأولى مكونة من أحرف اسمه، والرموز الأربعة التالية مكونة من أرقام العدد 1986 ، والتي هي سنة ميلاده. ما أكبر عدد من كلمات السر التي يستطيع حسن تكوينها بهذه الطريقة؟ 72 A 144 B 288 C 576 D مراجعة تراكمية أوجد قيمة الحد المطلوب في كل مما يأتي: (الدرس 5-6) 31) الحد الرابع في مفكوك 26 + x) (32) الحد الخامس في مفكوك (a + b) أوجد مجموع كل من المتسلسلتين الآتيتين : (33) الحد الرابع في مفكوك (x - y) 34) 1000 + ... + 20 + 15 + 10 - الدرس (62) 160 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات 1 1 1 + +... (35 15 45 (الدرس 4-6) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية المتتابعات والمتسلسلات الحسابية (الدرسان 2-6 ، 1-6) • المفردات المتتابعة ص 124 الحد ص 124 المتتابعة المنتهية ص 124 المتتابعة غير المنتهية ص 124 المتتابعة الحسابية ص 124 الحد النوني ( في متتابعة حسابية حدّها الأول 1 ، وأساسها أساس المتتابعة الحسابية d يُعطى بالصيغة : (1) - (1) + a = حيث " أي عدد صحيح موجب. مجموع أول " حدا في متتابعة حسابية: 5 يُعطى بإحدى الصيغتين: · S₁₁ = — (a₁₂ + a₁), S₁ = [2a₁ + (n − 1)d] المتتابعات والمتسلسلات الهندسية (الدرسان 4-3-6) ( الفرق المشترك ص 124 المتتابعة الهندسية ص 126 أساس المتتابعة الهندسية النسبة المشتركة) ص 126 الأوساط الحسابية ص 131 المتسلسلة ص 132 المتسلسلة الحسابية ص 132 الحد النوني في متتابعة هندسية حدها الأول 1 وأساسها r يُعطى بالصيغة : 1 - . = a ، حيث " أي عدد صحيح اختبار المفردات موجب. المجموع الجزئي ص 132 رمز المجموع ص 133 الأوساط الهندسية ص 139 المتسلسلة الهندسية ص 140 المتسلسلة الهندسية اللانهائية ص 145 المجموع الجزئي لمتسلسلة لانهائية ص 145 المتسلسلة المتقاربة ص 145 المتسلسلة المتباعدة ص 145 ما لا نهاية ص 145 مثلث باسكال ص 152 نظرية ذات الحدين ص 153 مبدأ الاستقراء الرياضي ص 157 فرضية الاستقراء ص 157 حدد ما إذا كانت كل من العبارات الآتية صحيحة أم لا. وإذا كانت غير . مجموع أول " حدًّا في . متسلسلة هندسية S يُعطى بإحدى صحيحة، فعدل المصطلح الذي تحته خط لتصبح العبارة صحيحة: الصيغتين: a₁-ar " , S = 1 a (1-) 1-r = S، حيث 1 r . مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية يُعطى بالصيغة = S ، حيث 1 > || . نظرية ذات الحدين الدرس (65) . نظرية ذات الحدين: 12 (a + b) = ! -an-kbk مبدأ الاستقراء الرياضي (الدرس (66) . مبدأ الاستقراء الرياضي هو طريقة أو أسلوب لبرهنة الجمل المتعلقة بالأعداد الطبيعية. المطويات منظم افكار تأكد من أن المفاهيم الأساسية مدونة في مطويتك. تُسمّى المتسلسلة اللانهائية التي يمكن إيجاد مجموع لها، متسلسلة متقاربة. (2) مبدأ الاستقراء الرياضي هو أسلوب لبرهنة الجمل الرياضية المتعلقة بالأعداد الطبيعية. 3) الأوساط الحسابية للمتتابعة، هي الحدود الموجودة بين أي حدين غير متتاليين في متتابعة حسابية. (4) الحدّ هو سلسلة من الأعداد مرتبة بطريقة معينة. (5) يُسمّى مجموع أول 1 حدا من متسلسلة، المجموع الجزئي. (6) المتتابعة الهندسية هي متتابعة نحصل على كل حد فيها بإضافة قيمة ثابتة إلى الحد السابق. (7) تُسمّى المتسلسلة الهندسية اللانهائية التي لا يمكن إيجاد مجموع لها، متسلسلة متقاربة. 8) 17, 11 هما وسطان هندسيان بين العددين 5,23 في المتتابعة . 5, 11, 17, 23 9) باستعمال نظرية ذات الحدين فإن: المتتابعات المتسلسلات (x = 24 = x4 - 8x3 + 24x2 - 32x + 16. وزارة التعليم الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 161 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 دليل الدراسة والمراجعة الفصل 6 مراجعة الدروس 6-1 المتتابعات بوصفها دوال ص 124 - 129 مثال 1 أوجد قيمة الحد المطلوب في كلّ من المتتابعات الحسابية الآتية: 4 = 9, d = 3, 414 = ? (10 a₁ = -3, d=6, a22 = ? (11 حدد نوع المتتابعة، ثم أوجد الحدود الأربعة التالية في كل من المتتابعتين الآتيتين ومثل الحدود السبعة الأولى بيانيا فيها أوجد الحدّ الحادي عشر في المتتابعة الحسابية التي a₁ = -15, d=6 aa + (n-1)d a=-15+ (11-1)6 a11 = 45 الحد النونى فى المتتابعة الحسابية n=11, a₁ =-15, d=6 بسط 10,7,4,... (12 800, 200, 50, (13 6-2 المتتابعات والمتسلسلات الحسابية ص 130 - 137 أوجد الأوساط الحسابية في كل من المتتابعات الآتية: مثال 2 أوجد الوسطين الحسابيين بين العددين 339 . الحد النوني في المتتابعة الحسابية ana+(n-1)d n = 4, a₁ = 3 44 = 3 + (4 - 1) a₁ = 39 39 = 3 + 3d -12, ?, ?, ?,8 (14 15, 2, 2, 29 (15 12,2,2,2,2,-8 (16 72,2,2,2,24 (17 18 توفير: يوفّر باسل 160 ريالًا كل شهرين. إذا استمر في 12 = d بسط الوسطان الحسابیان هما 27 = 12+ 15 ,15 = 12 + 3 التوفير بهذا المعدل مدة سنتين ، فما المبلغ الذي سيوفره في نهاية السنتين؟ ن من المتسلسلات الحسابية الآتية: أوجد كل من الـ مثال 3 أوجد للمتسلسلة الحسابية التي فيها: صيغة المجموع a₁ = 18, a = 56, n = 8 S₁₁ = (a + a) a₁ = 16, a₁ = 48, n = 6 (19 a₁ = 8,a=96, n = 20 (20 9+14 +19+...+74 (21 16+7+(-2)++ (-65) (22 (23) مسرح: لكي يؤدّي أيمن دوره بإتقان في مسرحية تاريخية، بدأ بالتدرب على النص مرَّتين في اليوم الأول، وأربع مرات في اليوم الثاني، وست مرات في اليوم الثالث وهكذا. ما عدد المرات التي سيتدربها في اليوم العشرين؟ أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلات الحسابية الآتية: 21 k=5 10 (3k -2) (24 5 = 2 (18 + 56) = 296 مثال 4 n=8, a, 18, a,, = 56 بسط 15 Σακ k = 3 أوجد مجموع المتسلسلة الحسابية: (1 + 5) استعمل الصيغة ( + S = a . المتسلسلة 13 حدا، وحدُّها الأول 16 = 1 + (3)5 = 4 في a135(15)+1 = 76 S13=13 (16+76) = 598 (6k-1) (25 k = 0 12 k=4 IM (-2k + 5) (26 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات 162

6-3 المتتابعات والمتسلسلات الهندسية ص 138 - 143 أوجد قيمة الحد المطلوب في كلّ من المتتابعات الهندسية الآتية: مثال 5 أوجد الحد السادس في المتتابعة الهندسية التي فيها: الحد النوني في المتتابعة الهندسية " = 6, 4g = 9, r = 4 .a₁ =9,r=4 4 = a • rn - 1 a69.46-1 a6=9216 a₁ =5,r=2,a=? (27 4 = 11, r = 3, 4g = ? (28) 4 = 128, r = - =-12, a5 = ? (29 أوجد الأوساط الهندسية المطلوبة في كل من المتتابعات الآتية: 6,2,2, 162 (30 8,2,2,2,648 (31 -4,2,2, 108 (32 (33) تخفيضات أعلن أحد المتاجر عن تخفيضات كبرى، فبلغت مبيعاته 2048000 ريال في اليوم الأول، ومع نفاد بعض السلع فإن مبيعاته صارت تقل إلى النصف يوميا. إذا استمر انخفاض المبيعات بهذا المعدل، فكم ريالًا ستكون مبيعات المتجر في اليوم الثاني عشر من التخفيضات؟ أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلتين الآتيتين: مثال 6 أوجد وسطين هندسيين بين 127 1 - ا . a = 4 الحد النوني في المتتابعة الهندسية n = 4, a₁ = 1 44 = 27 44 = 104 - 1 27=13 3 = r بسط الوسطان الهندسيان هما 9 = (3) 3 = (3)1 . مثال 7 أوجد مجموع حدود المتسلسلة الهندسية (241 k=1 n=6, a₁ =2, r=4 56 = 2-2.46 1-4 بسط -8190 -3 = 2730 7 k=1 3.(-2)-1 (34 2-1 -1 (35 k=1 6-4 المتسلسلات الهندسية اللانهائية ص 145 - 150 أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلات الهندسية اللانهائية فيما يأتي إن وجد: مثال B أوجد مجموع حدود المتسلسلة الهندسية اللانهائية التي فيها: وزارة التعليم 163 2024-1446 صيغة المجموع a₁ =15, r= بسط الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة a₁ = 15, r = S= 15 - 13 = 22.5 a₁ = 8,r= - (36) 5 80 20 320 +... (37 6 18 54 162 -1 (38 k=1 39) ألعاب أسقطت كرة من سطح بناية ارتفاعها ft 60، فارتدت مسافة في الارتفاع السابق. إذا استمر ارتداد الكرة بهذه الطريقة، فما المسافة الكلية التي تقطعها الكرة إلى أن تتوقف؟

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 6-5 نظرية ذات الحدين ص 152 - 155 أوجد مفكوك كل مما يأتي: (a+b)3 (40 (y-3)7 (41 (3-2z)5 (42 (4a-3b)4 (43 (44 مثال 9 أوجد مفكوك 4 (x - 3y ) . (x-3)=x++C₁x³ (−3y) + 4C2x²(−3y)²+ 4C3x(-3y)3+ 4C4(-3y)4 = x4 + - 12x3y + 54x2y2 + 108xy 3 + 8114 أوجد قيمة الحد المطلوب في كل مما يأتي: (45) الحد الثالث في مفكوك (2) (46) الحد السادس في مفكوك 47 + 3x) (47) الحد الثاني في مفكوك 10 (5 - 4x) 6-6 مثال 10 أوجد قيمة الحد الرابع في مفكوك 18 x . استعمل نظرية ذات الحدين لكتابة المفكوك -x8-kyk (x + y) =k!(8k)! k=0 بالنسبة للحد الرابع فإن 3 = k، لذلك يكون الحد الرابع هو 8! x8-3y3 = 56x5y3 3!(8-3)! البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي ص 157 - 160 برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها: n(n+1)(n+2) 2+6+12+ + n(n + 1) = (48 3 مثال 11 برهن أن 3 + 9 يقبل القسمة على 4 لكل عدد طبيعي " الخطوة 1 عندما 1 = n ، فإن : 12 = 3 + 91 = 3 + 9. (49) 1 - 5 يقبل القسمة على 4 . وبما أن 12 يقبل القسمة على 4 فالجملة صحيحة عندما .n=1 أعط مثالا مضادا يُبين خطأ كلِّ من الجمل الآتية، حيث " أي عدد الخطوة 2 افترض أن 3 + 9 يقبل القسمة على 4 حيث k عدد 350 + 8 يقبل القسمة على 11 . 51 2 - 1 + 6 يقبل القسمة على 17 . (52) 4 + 2 + 12 عدد عدد أولي . 1953 + 1 عدد أولي . صحيح موجب؛ إذن 4r = 3 + 9 حيث r عدد كلي. الخطوة 3 برهن صحة الجملة عند 1 + n = k ، ، أي برهن أنَّ (3 + 1+9k) يقبل القسمة على 4 9k+3=4r 9k = 4r - 3 9k + 1 = 36r - 27 gk+1+3 gk+1+3 36r - 27 +3 36r - 24 9k+1+34(9r - 6) فرضية الاستقراء اطرح 3 لكلا الطرفين اضرب كلا الطرفين في 9 أضف 3 لكلا الطرفين بسط حلل 164 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات وبما أن r عدد كلي فإن 6 - 9 عدد كلي وهذا يعني أ أن: 3 + 1+9k يقبل القسمة على 4 إذن الجملة صحيحة عند 1 + n = k إذن 3 + " يقبل القسمة على 4 لكل عدد صحيح موجب " . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل 6 اختبار الفصل أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلتين الآتيتين إن وجد: 9.2-1 (1 n = 1 أوجد الحدود الخمسة الأولى في كلّ من المتتابعتين الآتيتين: a₁ =-1,a+1=3a,, +5 (14 a₁ =4, a+1=a+n (15 (4) (0.5)"-1 (2 n=1 (3) أوجد الحدود الأربعة التالية في المتتابعة الحسابية 81, 72, 63, .... (16) أوجد مفكوك 34 - 2 17) أوجد معامل الحد الخامس في مفكوك 316 + m) (4) أوجد الحد الخامس والعشرين في المتتابعة الحسابية التي فيها (18) أوجد الحد الرابع في مفكوك . 4 = 9, d = 5 (5) اختيار من متعدد ما الحد الثامن في المتتابعة الحسابية برهن صحة كل من الجملتين الآتيتين، لكل عدد طبيعي " 1 +6 +36 + ... + 6"-1 = (6" - 1) (19 18, 20.2, 22.4, 24.6, ... 31.2 C 26.8 A 33.4 D 29 B 6 أوجد أربعة أوساط حسابية بين 911 . (7) أوجد مجموع المتسلسلة الحسابية التي فيها a₁ =11, n = 14, a₁ = 22 اختيار من متعدد ما الحدّ التالي في المتتابعة الهندسية أدناه؟ B 2858 555 10, 2'8' 32*** D (9) أوجد ثلاثة أوساط هندسية بين 61536 10) أوجد مجموع حدود المتسلسلة الهندسية التي فيها n = 5 a₁ = 15, r = = n = أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلتين الآتيتين (إن وجد): (20) 1 - 11 يقبل القسمة على 10 . (21) أوجد مثالاً مضاداً يُبيّن خطأ الجملة الآتية، حيث " أي عدد طبيعي: 4 + 2 يقبل القسمة على 4 (22) مدرسة إذا كان عدد طلاب الصف الأول الثانوي يساوي عدد طلاب الصف الثاني الثانوي في مدرسة ثانوية، وأراد معلم العلوم اختیار 8 طلاب عشوائياً من الصفين لتمثيل المدرسة في مسابقة للعلوم، فما احتمال أن يكون 5 من الطلاب الثمانية من الصف الأول الثانوي؟ (23) بندول: يقوم سعد بتحريك بندول، بحيث تتناقص المسافة التي يقطعها البندول في كل اهتزازة بنسبة 15%. إذا كانت أول مسافة قطعها البندول ،10in ، فأوجد المسافة الكلية التي : يكون البندول قد قطعها عندما يتوقف عن الحركة. 12 k=2 (3k-1) (11 45 + 37 +29 ++-11 (12 (13) اكتب الكسر العشري الدوري 0.65 في صورة كسر اعتيادي. 10 in وزارة التعليم الفصل 2 اختبار الفصل 165 2024-1446

الفصل 6 الإعداد للاختبارات المعيارية البحث عن نمط تعتبر استراتيجية البحث عن نمط من أكثر استراتيجيات حل المسألة استعمالا. وتعد القدرة على تمييز النمط، ونمذجته جبريًّا، وتوسيع النمط أدوات مهمة جدا في حل المسألة. استراتيجيات البحث عن نمط خطوة 1 تعرف النمط. . . قارن بين الأعداد والأشكال والتمثيلات البيانية في النمط. . اسأل نفسك ما العلاقة بين حدود النمط ؟ اسأل نفسك: هل توجد عمليات مشتركة تتوصل من خلالها من حدَّ إلى الحد الذي يليه في النمط ؟ خطوة 2 عمم النمط. . باستعمال الكلمات اكتب قاعدة تصف طريقة الحصول على الحدود المختلفة في النمط. . حدّد متغيرات، ثم اكتب عبارة جبرية لنمذجة النمط، إن كان ذلك مناسبًا. خطوة 3 أوجد الحدود المفقودة، وتوسّع في النمط، وحل المسألة. . استعمل النمط أو القاعدة التي حصلت عليها في إيجاد الحدود المفقودة، أو في توسيع النمط لحل المسألة. تحقق من إجابتك لتتأكد من أن إجابتك منطقية. مثال اقرأ المسألة الآتية جيدًا، وحدّد المطلوب فيها، ثم استعمل المعطيات لحلها: انظر إلى متتابعة الأشكال المربعة المعطاة. ما عدد المربعات التي تحتاج إليها لتكوين الشكل التاسع من المتتابعة ؟ 166 74 C 55 A 82 D 65 B الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات شكل 3 شكل 2 شكل 1 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الخطوة 1: تعرف النمط. . اقرأ المسألة بعناية. معك 3 أشكال من متتابعة، وتريد إيجاد عدد المربعات التي تحتاج إليها لعمل الشكل التاسع. . ابحث عن نمط في الأشكال المكوّنة من مربعات. عُدّ المربعات في كل شكل، ولاحظ أن عدد المربعات في كل شكل هو الخطوة 2 عمم النمط. 1+1 12+1 4+1 22+1 91 32 +1 • أي أن عدد مربعات الشكل التالي هو 1 + 42 أو 17 • اكتب العبارة الجبرية التي تمثل نموذجا لهذا النمط. التعبير اللفظي عدد المربعات في الشكل يساوي مربع رقم الشكل زائد واحد. متغير افترض أن 11 يُمثل رقم الشكل. المعادلة a = n²+1 الخطوة 3 وسع النمط. . استعمل العبارة التي حصلت عليها لتوسيع النمط، ثم أوجد عدد المربعات في الشكل التاسع. 4g = 92 + 1 = 82 إذن الشكل التاسع سيكون فيه 82 مربعًا. الإجابة الصحيحة هي D. تمارين ومسائل اقرأ المسألة. استعمل نمطًا لحل المسألة. 1) الأعداد أدناه متتابعة مشهورة في الرياضيات كما تعلم وهي: "متتابعة فيبوناشي". ما الحدّ التالي في هذه المتتابعة؟ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 36 A 34 B 31 C 29 D 2) ما العدد المفقود في الجدول أدناه؟ ة n 17 A 1 0 20 B 2 2 3 6 18 C 4 12 5 ?? 21 D 6 30 وزارة التعليم الفصل 6 الإعداد للاختبارات المعيارية 167 2024-1446

اختبار تراكمي الفصل 6 اختيار من متعدد اختر الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي: 1) أوجد قيمة الحد التالي في المتتابعة الحسابية: 7, 13, 19, 25, 31, ... 4) تدعي شركة صانعة لأحد أنواع مصافي الهواء، أن المصفاة تستطيع إزالة 90% من الشوائب في الهواء الداخل إلى المصفاة. إذا تم إدخال الكمية نفسها من الهواء إلى المصفاة 3 مرات متتابعة فما نسبة الشوائب التي سوف تُزال؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 0.1% A 0.01% B 99.99% C 99.9% D (5) أيُّ المتسلسلات الهندسية الآتية متباعدة؟ Σ(-2)·(9) k-1 A k-1 B k-1 1k - 1 6 إذا علمت أن 5 - x عامل من عوامل كثيرة الحدود 7x2 + x + k - 3 ، فما قيمة ؟ n an 1 5 2 10 1A 3 20 4 40 7B 5 80 15 C 35 D 36 A 37 B 38 C 39 D (2) أوجد قيمة (1 - 8) 119 A 826 B 945 C 1072 D (3) صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية الممثلة في الجدول المجاور هي: a = (5)" A 4 = 5(2)" - 1 B a=2(5)-1 C 4 = 5(2)" D الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات 168

C a b d f . 7 4 8 h i b j 1 إجابة قصيرة أجب عن كل مما يأتي: 7) ما رتبة المصفوفة الناتجة عن ضرب المصفوفتين أدناه؟ إجابة طويلة أجب عن كل مما يأتي موضحا خطوات الحل : 13) برهن صحة الجملة الآتية للأعداد الطبيعية جميعها. " 1 - "7 يقبل القسمة على 6 ". 8) أوجد مفكوك باستعمال نظرية ذات الحدين. بسط كلا من العبارتين الآتيتين: 12a 25a2b3 (9 5b x²-x-20 2x + 8 3x x-5 (10 (11) إذا كان 5 + f(x) = 2x + 4, g ( x ) = x2 ، فما قيمة [(6)] f؟ (12) يتكرر نمط المربعات أدناه إلى ما لانهاية من خلال إضافة مربعات جديدة. ما عدد المربعات في الخطوة رقم 10؟ 14) يقطع خالد مسافة معيّنة على دراجة هوائية في 2.5 ساعة. وإذا زاد من سرعته فإنه يقطع المسافة نفسها في ساعتين. a) هل يمثل هذا الوضع تناسبا طرديا أم تناسبا عكسياً؟ وضح إجابتك . إذا كانت سرعته عندما قَطَعَ المسافة في 2.5 ساعة. 12km/h، فكم يجب أن تكون سرعته ليقطع المسافة ذاتها في ساعتين؟ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ الخطوة 3 الخطوة 2 الخطوة 1 هل تحتاج إلى مساعدة إضافية ؟ 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5-5 6-6-6-2 مهارة سابقة 5-1 6-5 5-1 مهارة مهارة سابقة سابقة 6-4 6-3 6-3 6-2 6-2 وزارة التعليم الفصل 6 اختبار تراكمي 169 2024-1446 إذا لم تستطع حل السؤال ... فعد إلى الدرس ...